Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=，BC=，DC=，
且，点M是AB边的中点．

【小题1】（1）求证：CM⊥DM；
【小题2】（2）求点M到CD边的距离．（用含，的式子表示）

Answer 1

【小题1】证明：（1）延长DM，CB交于点E．（如图3）

∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADM=∠BEM．
∵点M是AB边的中点，
∴AM=BM．
在△ADM与△BEM中，
        ∠ADM=∠BEM，
∠AMD=∠BME，
           AM=BM，
∴△ADM≌△BEM． 
∴AD=BE=，DM=EM．
∴CE=CB+BE=．
∵CD=，
∴CE=CD．
∴CM⊥DM．
【小题2】解：（2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F．（如图4）

∵CE=CD，DM=EM，
∴CM平分∠ECD．              
∵∠ABC= 90°，即MB⊥BC，             
∴MN=MB． 
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°．
∵∠DFB=90°，
∴四边形ABFD为矩形．
∴BF= AD=，AB= DF． 
∴FC= BC－BF =．              
∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，
  ∴==．
∴ DF=．  -
∴MN=MB=AB=DF=．
即点M到CD边的距离为．

解析