Question

九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程
（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为为l，求l的最大值
②如图，过原点作一条直线y=x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
 

Answer 1

（1）y=－x²＋x
（2）当x=2或x=8时
（3）（Ⅰ）AB="2x-10 " BC=y=－x²＋x  l=－x²＋9x－20=－（x－9）²＋
（Ⅱ）存在，这样的点有四个
∵P点在直线y=x上，设P（x,x），Q（x, －x²＋x）
（A）  当∠P₁Q₁N=90°时，
Q点在OM的上方时，P₁Q₁=NQ₁，P₁Q₁=－x²＋x －x，NQ₁=5-x
Q点在OM的下方时，P₂Q₂=NQ₂，P₂Q₂= x－（－x²＋x），NQ₁="x" – 5
∴x²－x＋5=0
∴P₁（5＋，5＋）、P₂（5－，5－）
（B）  当∠P₃N Q₃=90°时，过点Q3作Q3K⊥对称轴
当△NQ₃K₁为等腰直角三角形时，△NP₃Q₃为等腰直角三角形
Q点在OM的上方时，P₃Q₃=2Q₃K₁，P₃Q₃=－x²＋x －x，Q₃K₁=5-x
Q点在OM的下方时，P₄Q₄=2Q₄K₂，P₄Q₄= x－（－x²＋x），Q₄K₂=" x" – 5
∴x²－x＋10=0
∴P3（4，4）、P4（10，10）解析:
略