Question

10．如图①，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（1）求证：AM=AD+MC；
（2）求证：AM=DE+BM；
（3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=9，其他条件不变，如图②．
①探究（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明；
②求AM的长．

Answer 1

分析 （1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图①，易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．
（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．
（3）①在图②中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图③中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立．②先表示出BM=BC-MC=9-x，AM=AD+MC=9+x，根据勾股定理得，AM²-BM²=AB²，求出x即可．

解答 （1）证明：延长AE、BC交于点N，如图①，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠MAE}\\{∠AED=∠NEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC．
（2）AM=DE+BM成立．
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图2所示
．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE．
在△ABF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠EAD}\\{AB=AD}\\{∠ABF=∠D}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM．
∴∠F=∠FAM．
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．
证明：延长AE、BC交于点P，如图3，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
在△ADE和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CPE}\\{∠AED=∠PEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．
②结论AM=DE+BM不成立．
证明：假设AM=DE+BM成立．
过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图4所示．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE=90°．
∴∠QAB=90°-∠BAE=∠DAE．
∴∠Q=90°-∠QAB=90°-∠DAE=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠QAB=∠QAM．
∴∠Q=∠QAM．
∴AM=QM．
∴AM=QB+BM．
∵AM=DE+BM，
∴QB=DE．
在△ABQ和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QAB=∠EAD}\\{∠ABQ=∠D}\\{BQ=DE}\end{array}\right.$
∴△ABQ≌△ADE（AAS）．
∴AB=AD．
与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．
∴AM=DE+BM不成立．
②设MC=x，则BM=BC-MC=9-x，
由（1）有，AM=AD+MC=9+x，
根据勾股定理得，AM²-BM²=AB²，
∴（9+x）²-（9-x）²=36，
∴x=1，
∴AM=9+x=10．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质，角平分线的性质，解本题的关键是构造全等三角形．