Question

6．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当$\frac{1}{2}$CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=$\frac{1}{2}$DC，从而有$\frac{1}{2}$CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即$\frac{1}{2}$CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．

解答 解：（1）连接OC，如图1，

∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，

由题可得CH=h．
在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，
∴h=OC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC，
∴OC=$\frac{2h}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$h，
∴AB=2OC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$h；

（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，

则∠AOF=∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=$\frac{1}{2}$DC，
∴$\frac{1}{2}$CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即$\frac{1}{2}$CD+OD）最小，
此时FH=OF•sin∠FOH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OF=6，
则OF=4$\sqrt{3}$，AB=2OF=8$\sqrt{3}$．
∴当$\frac{1}{2}$CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把$\frac{1}{2}$CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．