Question

9．如图1，抛物线y=ax²+bx+4交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y于点C，连接AC、BC，其中CO=BO=2AO

（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作QE∥AC交BC于E，作QN⊥x轴于N，交BC于M，当△EMQ的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值；
（3）如图2，在（2）的结论下，连接AQ分别交BC于F，交OC于G，四边形BOGF从F开始沿射线FC平移，同时点P从C开始沿折线CO-OB运动，且点P的运动速度为四边形BOGF平移速度的$\sqrt{2}$倍，当点P到达点B时四边形BOGF停止运动，设四边形BOGF平移过程中对应的图形为B₁O₁G₁F₁，当△PFF₁为等腰三角形时，求B₁F长度．

Answer 1

分析 （1）由C（0，4），且OC=0C=2OA求出A、B坐标后，待定系数法求解可得解析式；
（2）由B、C坐标可得直线BC解析式、∠MBN=∠NMB=∠QME=45°，由EQ∥AC，OC∥QM知tan∠EQM=tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，过点E作EH⊥QM于H，设EH=m，进而解直角三角形可得△QEM的三边长，设Q（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），则M（x，-x+4），用含x的式子表示△QEM的周长，根据二次函数的性质可得其最值情况；
（3）由A、Q坐标可得直线AQ的解析式，继而知点G、F坐标，得△CFG为等腰三角形，设FF₁=$\sqrt{2}$t，则PC=2t，表示出点F₁、P点的坐标，分P在线段CO上运动与点P在线段OB上运动两种情况，P在线段CO上运动时△PFF₁为等腰三角形有FP=FF₁、PF=PF₁、F₁P=F₁F三种可能，列方程求解可得；点P在线段OB上运动时∠F₁FP＞90°，知要使△PFF₁为等腰三角形，只有FP=FF₁，列方程求解可得．

解答 解：（1）当x=0时，y=4，则C（0，4），
∴OC=4，
又∵OC=0C=2OA，
∴B（4，0），A（-2，0），
又∵B（4，0），A（-2，0）在抛物线y=ax²+bx+4上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+4=0}\\{4a-2b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
∴∠MBN=∠NMB=∠QME=45°，
又∵EQ∥AC，OC∥QM，
∴∠EQM=∠CRQ=∠ACO，
∴tan∠EQM=tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
过点E作EH⊥QM于H，设EH=m，

则QH=2m，EQ=$\sqrt{5}$m，MH=m，EM=$\sqrt{2}$m，
∴QM=3m，
∴m=$\frac{1}{3}$QM，
设Q（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），则M（x，-x+4），
∴L=$\frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{5}}{3}$QM=$\frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{5}}{3}$[（-$\frac{1}{2}$x²+x+4）-（-x+4）]
=$\frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{5}}{3}$（-$\frac{1}{2}$x²+2x）
=-$\frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{5}}{6}$（x-2）²+$\frac{6+2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{3}$，
又∵0＜x＜4，
∴当x=2时，L_max=$\frac{6+2\sqrt{2}+2\sqrt{5}}{3}$，
∴Q（2，4）．

（3）∵Q（2，4），A（-2，0），
∴AQ的解析式y=x+2，
∴G（0，2），F（1，3），
∴BF=B₁F₁=3$\sqrt{2}$，△CFG为等腰三角形，
设FF₁=$\sqrt{2}$t，则PC=2t，
∴F₁（1-t，t+3），
当P在线段CO上运动时，则0＜t≤2，且P（0，4-2t），
①若FP=FF₁时，则1+（1-2t）²=2t²，
解得：t₁=t₂=1，
∴FF₁=$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$，
∴B₁F=B₁F₁-FF₁=2$\sqrt{2}$；
②若PF=PF₁时，则1+（1-2t）²=（1-t）²+（1-3t）²，
解得：t₁=0，t₂=$\frac{2}{3}$，
又∵0＜t≤2，
∴t=$\frac{2}{3}$，
∴FF₁=$\sqrt{2}$t=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴B₁F=B₁F₁-FF₁=$\frac{7\sqrt{2}}{3}$；
③若F₁P=F₁F时，则（1-t）²+（1-3t）²=2t²，
解得：t₁=t₂=$\frac{1}{2}$，
∴FF₁=$\sqrt{2}$t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B₁F=B₁F₁-FF₁=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
当点P在线段OB上运动时，则2＜t＜4，且P（2t-4，0），
∵∠F₁FP＞90°，
∴要使△PFF₁为等腰三角形，则只有FP=FF₁，
∴9+（2t-5）²=2t²，
解得：t=5±2$\sqrt{2}$，
又∵2＜t＜4，
∴t=5-2$\sqrt{2}$，
∴FF₁=$\sqrt{2}$t=5$\sqrt{2}$-4，
∴B₁F=B₁F₁-FF₁=4-2$\sqrt{2}$，
综上所述，B₁F=$\frac{7\sqrt{2}}{3}$，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$或4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、平行线的性质、解直角三角形、二次函数的性质即等腰三角形的判定等知识点，根据题意分类讨论思想的运用是解题的主线．