Question

10．如图，抛物线y=ax²-x-$\frac{3}{2}$与x轴正半轴交于点A（3，0）．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．求a的值和点E的坐标．

Answer 1

分析 把点A（3，0）代入抛物线y=ax²-x-$\frac{3}{2}$即可求得a的值，正方形OABC可得点C坐标，代入函数解析式求得点D坐标，可知点E横坐标，再利用正方形BDEF的性质得出点E纵坐标问题得解．

解答 解：把点A（3，0）代入抛物线y=ax²-x-$\frac{3}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$；
∵四边形OABC为正方形，
∴点C的坐标为（0，3），点D的纵坐标为3，
代入y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
解得x₁=1+$\sqrt{10}$，x₂=1-$\sqrt{10}$（不合题意，舍去），
因此正方形BDEF的边长B为1+$\sqrt{10}$-3=$\sqrt{10}$-2，
所以AF=3+$\sqrt{10}$-2=1+$\sqrt{10}$，
由此可以得出点E的坐标为（1+$\sqrt{10}$，1+$\sqrt{10}$）；
∴a的值为$\frac{1}{2}$和点E的坐标为（1+$\sqrt{10}$，1+$\sqrt{10}$）．

点评 此题主要结合图形与图象，关键是利用正方形的性质以及二次函数图象上点的坐标来进行解答．