以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30°.
(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接FM、EM.
①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,=_______;
②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角(),其他条件不变,判断的值是否发生变化,并对你的结论进行证明;
(2)如图3,若BO=,点N在线段OD上,且NO="2." 点P是线段AB上的一个动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_______,最大值为_______.
(1)①;②不变;(2),
解析试题分析:(1)①连接EF,由已知条件证明△EMF是直角三角形,并且可求出∠EMF=30°,利用30°角的余弦值即可求出的值;②若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角(0°<α<60°),其他条件不变,的值不发生变化,连接EF、AD、BC,由①的思路证明∠EMF=30°即可;
(2)过O作OE⊥AB于E,由已知条件求出当P在点E处时,点P到O点的距离最近为,当旋转到OE与OD重合是,NP取最小值为:OP-ON=-2;当点P在点B处时,且当旋转到OB在DO的延长线时,NP取最大值OB+ON=3+2.
(1)①连接EF,
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,
∴EF,FM是分别是△ACD和△DBC的中位线,
∴EF∥AD,FM∥CB,
∵∠ABO=∠DCO=30°,
∴∠CDO=60°,
∴∠EFC=60°,∠MFD=30°,
∴∠EFM=90°,
∴△EFM是直角三角形,
∵EM∥CD,
∴∠EMF=∠MFD=30°,
∴cos30°=;
②结论:的值不变.
连接EF、AD、BC
∵Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠ABO=30°,
∴
∵Rt△COD中,∠COD=90°,∠DCO=30°,
∴.
∴
∵∠AOD=90°+∠BOD,∠BOC=90°+∠BOD,
∴∠AOD="∠BOC."
∴△AOD∽△BOC.
∴,∠1="∠2."
∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,
∴EF∥AD,FM∥CB,且,
∴,∠3=∠ADC=∠1+∠6,∠4="∠5."
∵∠2+∠5+∠6=90°,
∴∠1+∠4+∠6=90°,即∠3+∠4="90°."
∴∠EFM=90°
∵在Rt△EFM中,∠EFM=90°,,
∴∠EMF=30°.
∴;
(2)O作OE⊥AB于E,
∵BO=3,∠ABO=30°,
∴AO=3,AB=6,
∴AB•OE=OA•OB,
∴OE=,
∴当P在点E处时,点P到O点的距离最近为,
这时当旋转到OE与OD重合是,NP取最小值为:OP-ON=;
当点P在点B处时,且当旋转到OB在DO的延长线时,NP取最大值OB+ON=,
∴线段PN长度的最小值为,最大值为.
考点:旋转的性质,相似三角形的判定与性质,直角三角形的判定和性质,三角形的中位线的判定和性质,梯形的中位线和性质,锐角三角函数的定义
点评:此题知识点多,综合性强,难度较大,注意数形结合思想的应用,注意旋转前后的对应关系.
科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源:2013-2014学年北京市平谷九年级上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30°.
(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接EF和FM.
①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,=_______;
②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角(),其他条件不变,判断的值是否发生变化,并对你的结论进行证明;
(2)如图3,若BO=,点N在线段OD上,且NO=3.点P是线段AB上的一个动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_______,最大值为_______.
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科目:初中数学 来源:2012-2013学年江苏省南通市如东县九年级中考适应性训练(一模)数学试卷(解析版) 题型:解答题
以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30°.
(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接FM、EM.
①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,=_______;
②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角(),其他条件不变,判断的值是否发生变化,并对你的结论进行证明;
(2)如图3,若BO=,点N在线段OD上,且NO="2." 点P是线段AB上的一个动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_______,最大值为_______.
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科目:初中数学 来源:2012-2013学年北京市西城区(北区)九年级上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30.
图1 图2 图3
(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接FM、EM.
①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,=_______;
②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角(),其他条件不变,判断的值是否发生变化,并对你的结论进行证明;
(2)如图3,若BO=,点N在线段OD上,且NO=2.点P是线段AB上的一个动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_______,最大值为_______.
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