Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=$\sqrt{13}$，AC=2，AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点E．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）求△BCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质可得∴∠OEC=∠ODC=90°，再由半径相等得OE=OD，从而可证明四边形ODCE是正方形；
（2）利用勾股定理可得计算出BC的长，然后再证明△AOD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得$\frac{OD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，代入数据可得DC的长，进而求得△BCD的面积．

解答 （1）证明：连接OE，DO，
∵AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点E，∠C=90°，
∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，OE=OD，
∴四边形ODCE是正方形；

（2）解：∵AB=$\sqrt{13}$，AC=2，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3，
∵∠A是公共角，∠ODA=∠C=90°，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{DC}{3}=\frac{2-DC}{2}$，
解得$DC=\frac{6}{5}$，
∴${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}×BC×CD=\frac{1}{2}×3×\frac{6}{5}=\frac{9}{5}$．

点评 此题主要正方形的判定、切线的性质，以及相似三角形的判定和性质，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形，相似三角形对应边成比例．