分析 以CD为轴,将△ACD往上翻转180°,由已知的边角关系可知△A′CA为等边三角形,求出A′C边上的高线,由“直线外一点到这条直线中,垂线段最短”即可得出结论.
解答 解:以CD为轴,将△ACD往上翻转180°,如图,
过点A作AE⊥A′C于E点,AE交CD于F点,
当Q与F点重合,P′与E点重合时,AQ+QP=AF+EF=AE最短(直线外一点到这条直线中,垂线段最短),
∵矩形ABCD中,AD=4,∠CAB=30°,
∴∠A′CD=∠ACD=∠CAB=30°,
∴∠A′CA=60°,
又∵AC=A′C,
∴△A′CA为等边三角形,且A′A=2AD=8,
AE=A′A•sin∠A′CA=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$.
故答案为:4$\sqrt{3}$.
点评 本题考查了轴对称图形的性质以及点到直线的距离,解题的关键是以CD为轴,将△ACD往上翻转180°,找出A′C边上的高线.
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