Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y=mx+n．
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式$mx+n-\frac{k}{x}$＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）由点B、D的坐标结合矩形的性质即可得出点C的坐标，由中点的性质即可得出点A的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k值，由此即可得出反比例函数解析式；由点F的横坐标、点E的纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点E、F的坐标，再由点E、F的坐标利用待定系数法即可求出直线EF的解析式；
（2）通过分割图形并利用三角形的面积公式即可求出结论；
（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下关系结合交点坐标即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），
∴C点坐标为（6，4），
∵点A为线段OC的中点，
∴A点的坐标为（2，3），
∴k=3×2=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；
把x=6代入y=$\frac{6}{x}$得y=$\frac{6}{6}$=1，则F点的坐标为（6，1）；
把y=4代入y=$\frac{6}{x}$得4=$\frac{6}{x}$，解得：x=$\frac{3}{2}$，则E点的坐标为（$\frac{3}{2}$，4）．
把F（6，1）、E（$\frac{3}{2}$，4）代入y=mx+n中得：
$\left\{\begin{array}{l}{1=6m+n}\\{4=\frac{3}{2}m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2}{3}}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+5．
（2）S_△OEF=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF=4×6-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$×（6-$\frac{3}{2}$）×（4-1）=$\frac{45}{4}$．
（3）不等-$\frac{2}{3}$x+5-$\frac{6}{x}$＞0，可变形为-$\frac{2}{3}$x+5＞$\frac{6}{x}$．
观察函数图象可发现：
当$\frac{3}{2}$＜x＜6时，一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+5的图象在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象的上方，
∴不等-$\frac{2}{3}$x+5-$\frac{6}{x}$＞0的解集为：$\frac{3}{2}$＜x＜6．

点评 本题考查了矩形的性质、反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A、E、F的坐标；（2）分割图形求面积；（3）观察函数图象解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，求出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．