Question

19．如图，点P、Q在直线1外，在点O沿直线l从右向左运动的过程中，形成了无数条线段：O₁P、O₂P、…、O_nP…以及O₁Q、Q₂Q、…、O_nQ、…我们来研究|OP-OQ|的值，观察||O₁P-O₁Q|、|O₂P-O₂Q|、…|O_nO-O_nQ|的值大小变化情况，思考：
（1）|OP-OQ|的值有没有最小值？如果有，试在图中画出点O的位置；
（2）|OP-OQ|的值有没有最大值？如果有，试在图中画出点O的位置．

Answer 1

分析 （1）连接PQ，作PQ的垂直平分线，交直线l与点O，此时OP=OQ，所以|OP-OQ|的值最小，为0；
（2）连接QP并延长交直线l于O，此时|OP-OQ|的值最大，最大值为PQ的长．

解答 解：（1）|OP-OQ|的值有最小值，如图1，

连接PQ，作PQ的垂直平分线，交直线l与点O，此时OP=OQ，
所以|OP-OQ|的值最小，为0；
（2）|OP-OQ|的值有最大值，如图2，

连接QP并延长交直线l于O，此时|OP-OQ|的值最大，最大值为PQ．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，两点之间线段最短是解题的关键．