分析 (1)由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,证出AH=BE=CF=DG,由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,得出EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,证出四边形EFGH是菱形,再证出∠HEF=90°,即可得出结论;
(2)连接AC、EG,交点为O;先证明△AOE≌△COG,得出OA=OC,证出O为对角线AC、BD的交点,即O为正方形的中心;
(3)设四边形EFGH面积为S,BE=xcm,则BF=(8-x)cm,由勾股定理得出S=x2+(8-x)2=2(x-4)2+32,S是x的二次函数,容易得出四边形EFGH面积的最小值.
解答 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,
∵AE=BF=CG=DH,
∴AH=BE=CF=DG,
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中,$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF=CG=DH}&{\;}\\{∠A=∠B=∠C=∠D}&{\;}\\{AH=BE=CF=DG}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS),
∴EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,
∴四边形EFGH是菱形,
∵∠BEF+∠BFE=90°,
∴∠BEF+∠AEH=90°,
∴∠HEF=90°,
∴四边形EFGH是正方形;
(2)解:直线EG经过一个定点,这个定点为正方形的中心(AC、BD的交点);理由如下:
连接AC、EG,交点为O;如图所示:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,
∴∠OAE=∠OCG,
在△AOE和△COG中,$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCG}&{\;}\\{∠AOE=∠COG}&{\;}\\{AE=CG}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△AOE≌△COG(AAS),
∴OA=OC,OE=OG,
即O为AC的中点,
∵正方形的对角线互相平分,
∴O为对角线AC、BD的交点,即O为正方形的中心;
(3)解:设四边形EFGH面积为S,设BE=xcm,则BF=(8-x)cm,
根据勾股定理得:EF2=BE2+BF2=x2+(8-x)2,
∴S=x2+(8-x)2=2(x-4)2+32,
∵2>0,
∴S有最小值,
当x=4时,S的最小值=32,
∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2.
点评 本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(2)(3)中,需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果.
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A. | m2+m2=m4 | B. | (m+$\frac{1}{m}$)2=m2+$\frac{1}{{m}^{2}}$ | C. | (3mn2)2=6m2n4 | D. | 2m2n÷$\frac{m}{n}$=2mn2 |
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A. | 3×106 | B. | 3×105 | C. | 0.3×106 | D. | 30×104 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0.84327×108 | B. | 8.4327×107 | C. | 8.4327×108 | D. | 84327×103 |
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