【题目】数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.下面我们来探究“由数思形,以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.
(1)探究的几何意义:如图①,在直角坐标系中,设点M的坐标为(x,y),过M作MP⊥x轴于P,作MQ⊥y轴于Q,则P点坐标为(x,0),Q点坐标为(0,y),即OP=|x|,OQ=|y|,在△OPM中,PM=OQ=|y|,则MO=,因此,的几何意义可以理解为点M(x,y)与点O(0,0)之间的距离OM.
①的几何意义可以理解为点N1 (填写坐标)与点O(0,0)之间的距离N1O;
②点N2(5,﹣1)与点O(0,0)之间的距离ON2为 .
(2)探究的几何意义:如图②,在直角坐标系中,设点A′的坐标为(x﹣1,y﹣5),由探究(1)可知,A′O=,将线段A′O先向右平移1个单位,再向上平移5个单位,得到线段AB,此时点A的坐标为(x,y),点B的坐标为(1,5),因为AB=A′O,所以AB=,因此的几何意义可以理解为点A(x,y)与点B(1,5)之间的距离.
(3)探究的几何意义:请仿照探究二(2)的方法,在图③中画出图形,那么的几何意义可以理解为点C (填写坐标)与点D(x,y)之间的距离.
(4)拓展应用:①的几何意义可以理解为:点A(x,y)与点E(1,﹣4)的距离与点A(x,y)与点F (填写坐标)的距离之和.
②的最小值为 (直接写出结果)
【答案】(1)①(﹣2,3)或(3,﹣2);②;(3)见解析, (﹣2,3);(4)①(﹣2,﹣3);②
【解析】
(1)①构造直角三角形利用勾股定理即可得出答案;
②由两点间的距离即可得出答案;
(3)设点D′的坐标为,由两点间的距离和平移的性质即可得出结论;
(4)①由(3)即可得出答案;
②根据三角形的三边关系即可求出答案.
(1)①的几何意义可以理解为点N1 或与点O之间的距离N1O,
故答案为:或;
②点N2与点O之间的距离ON2为:,
故答案为:;
(3)设点D′的坐标为,如图③所示:
由探究(2)可知,D′O=,
将线段D′O先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到线段CD,
此时,D的坐标为,点C的坐标为,
∵CD=D'O,
∴CD=,
∴的几何意义为点C到点D之间的距离;
故答案为:;
(4)①由(2)可知: 的几何意义可以理解为:
点A与点E的距离与点A与点F的距离之和,
故答案为:;
②当A位于直线EF外时,
此时点A、E、F三点组成△AEF,
∴由三角形三边关系可知:EF<AF+AE,
当点A位于线段EF之间时,此时EF=AF+AE,
∴的最小值为EF的距离,
∴EF=,
故答案为:.
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【题目】在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,如图是2012年8月份的日历.我们任意选择其中所示的方框部分,将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘,再相减,例如:7×13-6×14=7,17×23-16×24=7,不难发现,结果都是7.
①请你再选择一个类似的部分试一试,看看是否符合这个规律;
②请你利用整式的运算对以上的规律加以证明.
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【题目】无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元,每桶水的进价是5元,规定销售单价不得高于12元/桶,也不得低于7元/桶,调查发现日均销售量p(桶)与销售单价x(元)的函数图象如图所示.
(1)求日均销售量p(桶)与销售单价x(元)的函数关系;
(2)若该经营部希望日均获利1350元,那么销售单价是多少?
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【题目】2017年5月14日至15日,“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行,本届论坛期间,中国同30多个国家签署经贸合作协议,某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区,已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同,3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元?
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元,则至少销售甲种商品多少万件?
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【题目】在一款名为超级玛丽的游戏中,玛丽到达一个高为10米的高台A,利用旗杆顶部的绳索,划过90°到达与高台A水平距离为17米,高为3米的矮台B,求旗杆的高度OM和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN.
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【题目】知识背景:我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质,在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定,在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边,进而解决问题.
问题:如图1,是等腰三角形,,是的中点,以为腰作等腰,且满足,连接并延长交的延长线于点,试探究与之间的数量关系.
图1
发现:(1)与之间的数量关系为 .
探究:(2)如图2,当点是线段上任意一点(除、外)时,其他条件不变,试猜想与之间的数量关系,并证明你的结论.
图2
拓展:(3)当点在线段的延长线上时,在备用图中补全图形,并直接写出的形状.
备用图
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【题目】已知:a、b、c均为非零实数,且a>b>c,关于x的一元二次方程 (a≠0)其中一个实数根为2。
(1)填空:4a+2b+c 0,a 0,c 0(填“>”,“<”或“=”);
(2)若关于x的一元二次方程(a≠0)的两个实数根,满足一个根为另一个根的2倍,我们就称这样的方程为“倍根方程”,若原方程是倍根方程,则求a、c之间的关系。
(3)若a=1时,设方程的另一根为m(m≠2),在两根之间(不包含两根)的所有整数的绝对值之和是7,求b的取值范围.
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【题目】某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利45元,为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出4件,若商场平均每天盈利2100元,每件衬衫应降价多少元?请完成下列问题:
(1)未降价之前,某商场衬衫的总盈利为 元.
(2)降价后,设某商场每件衬衫应降价x元,则每件衬衫盈利 元,平均每天可售出 件(用含x的代数式进行表示)
(3)请列出方程,求出x的值.
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