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    【题目】如图1，在等腰中，，点为边上一点（不与点、点重合），，垂足为，交于点.

    （1）请猜想与之间的数量关系，并证明；

    （2）若点为边延长线上一点，，垂足为，交延长线于点，请在图2中画出图形，并判断（1）中的结论是否成立.若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明.

    【答案】（1）猜想：.证明见解析；（2）如图2所示，（1）中的结论仍然成立，证明见解析.

    【解析】

    （1）结论：PN=2BM．如图1中，作PE∥AC交BC于E，交BD于F．只要证明（ASA）即可解决问题；

    （2）结论不变，证明方法类似（1）；

    （1）猜想：.

    证明：如图1，过点作，交于点，

    ，

    ，

    .

    ，

    .

    ∴.

    ，

    .

    ∴.

    ∵，

    ∴.

    ∵，

    ∴.

    ∴.

    ∴.

    ∵，

    ∴.

    ∴.

    （2）如图2所示，（1）中的结论仍然成立

    证明：如图2，过点作，交延长线于点，

    ∵，，

    ∴，

    .

    ∴，

    .

    ∴.

    ∵，

    ∴.

    ∴.

    ∴.

    ∵，

    ∴.

    ∵，

    ∴.

    ∴.

    ∵，

    ∴.

    ∴.

    ∵，

    ∴.

    ∴.

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    （1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；

    （2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；

    （3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．

    【答案】(1) y=﹣x2+4x﹣3；(2) 点P的坐标为（，）；(3) .

    【解析】分析：（1）将点A、B代入抛物线y=-x2+ax+b，解得a，b可得解析式；

    （2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；

    （3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．

    详解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，

    ，

    解得，a=4，b=﹣3，

    ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；

    （2）∵点C在y轴上，

    所以C点横坐标x=0，

    ∵点P是线段BC的中点，

    ∴点P横坐标xP==，

    ∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，

    ∴yP=﹣3=，

    ∴点P的坐标为（，）；

    （3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，

    ∴点C的纵坐标为2×﹣0=，

    ∴点C的坐标为（0，），

    ∴BC==，

    ∴sin∠OCB===．

    点睛：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，解直角三角形，勾股定理，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．

    【题型】解答题
    【结束】
    24

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    （1）求证：△ACF∽△DAE；

    （2）若S△AOC=，求DE的长；

    （3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．

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    【题目】我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．

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