Question

20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y=-x²+ax+b的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．

Answer 1

分析 （1）将点A、B代入抛物线y=-x²+ax+b，解得a，b可得解析式；
（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；
（3）由P点的坐标可得C点坐标，由B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=$\frac{OB}{BC}$可得结果．

解答 解：（1）将点A、B代入抛物线y=-x²+ax+b可得，
$\left\{\begin{array}{l}{0={-1}^{2}+a+b}\\{0={-3}^{2}+3a+b}\end{array}\right.$，
解得，a=4，b=-3，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x-3；

（2）∵点C在y轴上，
所以C点横坐标x=0，
∵点P是线段BC的中点，
∴点P横坐标x_P=$\frac{0+3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∵点P在抛物线y=-x²+4x-3上，
∴y_P=${-（\frac{3}{2}）}^{2}$$+4×\frac{3}{2}$-3=$\frac{3}{4}$，
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）；

（3）∵点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$），点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为2×$\frac{3}{4}$-0=$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为（0，$\frac{3}{2}$），
∴BC=$\sqrt{{（\frac{3}{2}）}^{2}{+3}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠OCB=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{3}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．