Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，若∠A=90°，AD=CD=6，将一等腰直角三角板的一个锐角的顶点与点C重合，将此三角板绕着点C旋转时，三角板的两边分别交AD边于Q，交直线AB于P，若PQ=5，则AP的长为

 

．

Answer 1

分析：作CE⊥AB，FC⊥QC，CE、CF交AB的延长线于点E、F，如图，证明△QEC≌△FEC和△QCP≌△FCP，则可得QD=FE，QP=PF，设AP=x，用x表示出QD、PE，列出方程，解答出即可．

解答：解：如图，作CE⊥AB，FC⊥QC，CE、CF交AB的延长线于点E、F，
∴∠QCF=90°，∠PCF=45°，
∵∠A=90°，AD=CD=6，
∴四边形AECD是正方形，
∵∠QCP=45°，
∴∠QCD+∠PCE=∠PCE+∠FCE=45°，
∴∠QCD=∠FCE，
又∵DC=ED，∠QDC=∠FEC=90°，
∴△QEC≌△FEC，
∴QC=FC，QD=FE，
又∵CP=CP，
∴△QCP≌△FCP（SAS），
∴PQ=PF=5，
设AP=x，则PE=6-x，AQ=

52-x2

，DQ=6-

52-x2

，
∵PF=PE+EF，
∴5=6-x+（6-

52-x2

），
解得，x=3或x=4．
故答案为：3或4．

点评：本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，作辅助线，利用旋转的性质构建全等三角形，是解答本题的思路．