Question

16．如图所示．在?ABCD中．点E．F分别在边BC，CD上．且BE：EC=1：2，CF：FD=2：3．如果?ABCD的面积是15．求△AEF的面积．

Answer 1

分析 连接BF，由BE：EC=1：2，得出△BEF和△EFC面积的比；同理由CF：FD=2：3得出△ADF和△BFC面积的比，按相同方法依次得出S_△ADF、S_△EFC、S_△ABE面积的比为9：4：5，再根据面积公式得出S_△ADF与?ABCD的面积的关系，从而得出结论．

解答 解：连接BF，
∵BE：EC=1：2，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△EFC}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△BFC}}{{S}_{△EFC}}$=$\frac{3}{2}$=$\frac{6}{4}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∵CF：FD=2：3，
∴$\frac{{S}_{△BFC}}{{S}_{△ADF}}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{6}{9}$，
∴$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△ADF}}$=$\frac{4}{9}$，
同理得：$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{4}{5}$，
设S_△EFC=4x，S_△ADF=9x，S_△ABE=5x，
∵DF：DC=3：5，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{平行四边形ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}DF•h}{DC•h}$=$\frac{3}{10}$，
∵?ABCD的面积是15，
∴S_△ADF=4.5，
即9x=4，5，x=0.5，
∴S_△AEF=15-S_△ADF-S_△EFC-S_△ABE=15-9x-4x-5x=15-18×0.5=6，
则△AEF的面积为6．

点评 本题是有关平行四边形的面积问题，如果两个三角形同高，则面积的比就是对应底边的比，利用这一结论得出S_△ADF、S_△EFC、S_△ABE面积的比，设未知数列方程可求出未知数的值；对于所求三角形的面积不能直接利用公式求解的，可以考虑用和或差来求．