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16.如图所示.在?ABCD中.点E.F分别在边BC,CD上.且BE:EC=1:2,CF:FD=2:3.如果?ABCD的面积是15.求△AEF的面积.

分析 连接BF,由BE:EC=1:2,得出△BEF和△EFC面积的比;同理由CF:FD=2:3得出△ADF和△BFC面积的比,按相同方法依次得出S△ADF、S△EFC、S△ABE面积的比为9:4:5,再根据面积公式得出S△ADF与?ABCD的面积的关系,从而得出结论.

解答 解:连接BF,
∵BE:EC=1:2,
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△EFC}}$=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{{S}_{△BFC}}{{S}_{△EFC}}$=$\frac{3}{2}$=$\frac{6}{4}$,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,
∵CF:FD=2:3,
∴$\frac{{S}_{△BFC}}{{S}_{△ADF}}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{6}{9}$,
∴$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△ADF}}$=$\frac{4}{9}$,
同理得:$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{4}{5}$,
设S△EFC=4x,S△ADF=9x,S△ABE=5x,
∵DF:DC=3:5,
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{平行四边形ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}DF•h}{DC•h}$=$\frac{3}{10}$,
∵?ABCD的面积是15,
∴S△ADF=4.5,
即9x=4,5,x=0.5,
∴S△AEF=15-S△ADF-S△EFC-S△ABE=15-9x-4x-5x=15-18×0.5=6,
则△AEF的面积为6.

点评 本题是有关平行四边形的面积问题,如果两个三角形同高,则面积的比就是对应底边的比,利用这一结论得出S△ADF、S△EFC、S△ABE面积的比,设未知数列方程可求出未知数的值;对于所求三角形的面积不能直接利用公式求解的,可以考虑用和或差来求.

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