Question

某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图1）
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m²，当△AMD地带种满花后（图1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m²和10元/m²，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金；
（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB∽△DPC且S_△APD=S_△BPC，并说出你的理由。

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，
∴△AMD∽△CMB，
∴=（）²=
∵种植△AMD地带花费160元，单价为8元/m²，
∴S_三角形AMD=20（m²），
∴S_三角形CMB=80m²，
∴△BMC地带所需的费用为8×80=640（元）；
（2）设△AMD的高为h₁，△BMC的高为h₂，梯形ABCD的高为h
∵S_△AMD=×10h₁=20，
∴h₁=4，
∵S_△BCM=×20h₂=80，
∴h₂=8，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）h=×（10+20）×（4+8）=180
∴S_△AMB+S_△DMC=180﹣20﹣80=80（m²），
∵160+640+80×12=1760（元），160+640+80×10=1600（元），
∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金；
（3）由（2）知梯形高为12，要保证△APB≌△DPC且S_△APD=S_△BPC
P点必须在AD和BC的垂直平分线上，且P到AD的距离是P到BC距离的2倍，即到AD的距离应该为8。