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观察下列各图：

（1）第1个图中有1个三角形，第2个图中有3个三角形，第3个图中有6个三角形，第4个图中有个三角形，…，根据这个规律可知第n个图中有个三角形（用含正整数n的式子表示）；
（2）问在上述图形中是否存在这样的一个图形，该图形中共有25个三角形？若存在，请画出图形；若不存在请通过具体计算说明理由；
（3）在下图中，点B是线段AC的中点，D为AC延长线上的一个动点，记△PDA的面积为S₁，△PDB的面积为S₂，△PDC的面积为S₃．试探索S₁、S₂、S₃之间的数量关系，并说明理由．

解：（1）10； $\text{[math]}$ ；

（2）不存在（法一）当n=6时，三角形的个数为 $\text{[math]}$ ；
当n=7时，三角形的个数为 $\text{[math]}$ ；
所以不存在n使三角形的个数为25．
（法二）由 $\text{[math]}$ =25，得n（n+1）=50，而不存在两个连续整数的乘积为50，
所以不存在n使三角形的个数为25．

（3）S₁+S₃=2S₂．
∵点B是线段AC的中点，
∴AB=BC，
∴S_△PAB=S_△PBC，
∴S₁+S₃=2S₂．
分析：（1）第一个图中三角形的个数为1；
第二个图中三角形的个数为3=1+2；
第三个图中三角形的个数为6=1+2+3；
…
第n个图中三角形的个数为1+2+3+…+n= $\text{[math]}$ ；
当n=10时，可计算出第10个图中三角形的个数．
（2）令 $\text{[math]}$ =25，看n是否有正整数解即可．
（3）由于B是AC中点，则△PAB和△PBC等底同高，故S_△PBA=S_△PBC，由此可得出S₁+S₃=2S₂．
点评：本题考查的是规律性问题以及三角形面积的求法；解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值．

练习册系列答案

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