Question

如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
（3）△MBC的面积可由S_△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．
解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：
0=16a-×4-2，即：a=；
∴抛物线的解析式为：y=x²-x-2．

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直线BC的解析式为：y=x-2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
x+b=x²-x-2，即：x²-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×（-2-b）=0，即b=-4；
∴直线l：y=x-4．
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：
，
解得：
即 M（2，-3）．
过M点作MN⊥x轴于N，
S_△BMC=S_梯形OCMN+S_△MNB-S_△OCB=×2×（2+3）+×2×3-×2×4=4．
点评：考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．