Question

已知二次函数y=x²+2（m+1）x-m+1．
（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．
（2）如果直线y=x+1经过二次函数y=x²+2（m+1）x-m+1图象的顶点P，求此时m的值．

Answer 1

解：（1）该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上求该抛物线的函数表达式如下：
利用配方，得y=（x+m+1）²-m²-3m，顶点坐标是P（-m-1，-m²-3m）．
方法一：分别取m=0，-1，1，得到三个顶点坐标是P₁（-1，0）、P₂（0，2）、
P₃（-2，-4），过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x²+x+2．
将顶点坐标P（-m-1，-m²-3m）代入y=-x²+x+2的左右两边，左边=-m²-3m，
右边=-（-m-1）²+（-m-1）+2=-m²-3m，
∴左边=右边．即无论m取何值，顶点P都在抛物线y=-x²+x+2上．
即所求抛物线的函数表达式是y=-x²+x+2．
方法二：令-m-1=x，则m=-x-1，将其代入-m²-3m，得-（-x-1）²-3（-x-1）=-x²+x+2．
即所求抛物线的函数表达式是y=-x²+x+2上．

（2）如果顶点P（-m-1，-m²-3m）在直线y=x+1上，
则-m²-3m=-m-1+1，
即m²=-2m，
∴m=0或m=-2，
∴当直线y=x+1经过二次函数y=x²+2（m+1）x-m+1图象的顶点P时，m的值是-2或0．
分析：（1）根据二次函数的函数表达式y=x²+2（m+1）x-m+1求得该函数的顶点坐标P（-m-1，-m²-3m），然后利用“待定系数法”求顶点坐标所在的函数图象的函数表达式；
（2）因为直线y=x+1经过二次函数y=x²+2（m+1）x-m+1图象的顶点P，所以顶点坐标P（-m-1，-m²-3m）也满足直线方程y=x+1，故而，将其代入直线方程，求解即可．
点评：（1）解答本题的难点是求出顶点p的坐标；
（2）正确理会题意，“如果直线y=x+1经过二次函数y=x²+2（m+1）x-m+1图象的顶点P”，旨在告诉我们：顶点坐标P（-m-1，-m²-3m）既满足二次函数y=x²+2（m+1）x-m+1，又满足直线y=x+1．