Question

16．某货车销售公司，分别试销售两种型号货车各一个月，并从中选择一种长期销售，设每月销售量为x辆，若销售甲型货车，每月销售的利润为y₁（万元）．已知每辆货车的利润为（a-6）万元，（a是常数，9≤a≤11），每月还需支出其他费用8万元，受条件限制每月最多能销售甲型货车25辆；若销售乙型货车，每月的利润y₂（万元）与x的函数关系式为y₂=ax²+bx-25，且当x=10时，y₂=20，当x=20时，y₂=55，受条件限制每月最多能销售乙型货车40辆．
（1）分别求出y₁、y₂与x的函数关系式，并确定x的取值范范围；
（2）若y₂=68.75，求x的值；
（3）分别求出销售这两种货车的最大月利润；
（4）为获得最大月利润，该公司应该选择销售哪种货车？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据“总利润=每辆货车的利润×月销售量-其他开支”可得y₁与x的函数关系式，利用待定系数法可得y₂与x的函数关系式；
（2）将y₂=68.75代入（1）中所求函数解析式，求出x，结合x的范围即可；
（3）根据一次函数和二次函数的性质分别求解可得；
（4）由a的取值范围得出甲种货车的最大利润的范围即可做出判断．

解答 解：（1）由题意知，y₁=（a-6）x-8，（0≤x≤25），
将x=10、y₂=20，x=20、y₂=55代入y₂=ax²+bx-25，
得：$\left\{\begin{array}{l}{100a+10b-25=20}\\{400a+20b-25=55}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{20}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴y₂=-$\frac{1}{20}$x²+5x-25，（0≤x≤40）．

（2）当y₂=68.75时，-$\frac{1}{20}$x²+5x-25=68.75，
解得：x=25或x=75，
∵0≤x≤40，
∴x=25．

（3）∵a是常数，9≤a≤11，
∴a-6＞0，
∴y₁随x的增大而增大，
∴当x=25时，y₁取得最大值，最大值为25a+142；
∵y₂=-$\frac{1}{20}$x²+5x-25=-$\frac{1}{20}$（x-50）²+100，
∴当x＜50时，y₂随x的增大而增大，
∵0≤x≤40，
∴当x=40时，y₂取得最大值，最大值为105．

（4）∵y₁的最大值为25a+142，且9≤a≤11，y₂的最大值为105，
∴105＜225≤25a+142≤417，
故应选择甲种货车．

点评 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的性质及解一元二次方程的能力是解题的关键．