Question

11．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，把边BA、CD分别绕点B，C同时逆时针旋转60°得到四边形A′BCD′，连接OD′．下列结论：①四边形A′BCD′为菱形；②四边形A′BCD′的面积等于四边形ABCD面积的一半；③线段OD′的长为$\sqrt{3}$-1．其中正确的有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 ①根据旋转角是60°以及正方形的四个角都是直角可得∠BCD′=30°，然后证明A′B∥CD′，进而得到四边形A′BCD′是平行四边形，再根据A′B=BC，即可证明四边形A′BCD′是菱形；
②根据旋转角是60°求出点B到A′D′的距离是A′B的一半，也就是AB的一半，然后根据正方形的面积公式以及菱形的面积即可证明；
③先求出OA′的长度，再根据菱形的对边相等，减去正方形的边长即可．

解答 解：①根据题意，∠A′BA=∠D′CD=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCD′=30°，
∴∠A′BC+∠BCD′=60°+90°+30°=180°，
∴A′B∥CD′，
又∵A′B=CD′=AB，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
∵AB=BC（正方形的边长相等），
∴四边形A′BCD′是菱形，故①正确；

②∵∠ABA′=60°，AB=2，
∴点B到A′D′的距离是：$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴S_{四边形A′BCD}=BC•（$\frac{1}{2}$A′B）=2×1=2，
S_{正方形ABCD}=BC•AB=2×2=4，
∴S_{四边形A′BCD}=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}，故②正确；

③∵点O是AC的中点，
∴OA′=A′B•sin60°+$\frac{1}{2}$BC=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×2=$\sqrt{3}$+1，
∴OD′=OA′-A′D′=$\sqrt{3}$+1-2=$\sqrt{3}$-1，故③正确．
故选D．

点评 本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，旋转变换，是综合题目，但难度不大，仔细分析即可求解．