Question

5．己知E为△ABC内部一点，AE延长线交边BC于点D，连按BE、CE，∠BED=∠BAC=2∠DEC．
（1）若AC=AB，求证：BE=2AE；
（2）当AC=kAB，（k在0和1之间），AE=m，找出BE与AE的数量关系，若角BAC=60°，用m和k表示EC．

Answer 1

分析 （1）在EB上截取EF=AE，利用AAS即可证得△ABF≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）如图2，在EB上截取EF=AE，连接AF，过E作EH⊥AF于H，设∠BED=2α，得到∠FAE=∠AFE=α，推出△ABF∽△AEC，得到BF=$\frac{1}{k}$AE，于是得到BE=BF+EF=BF+AE=$\frac{k+1}{k}$AE，由∠BAC=60°，得到∠AEF=120°，根据等腰三角形和直角三角形的性质得到AF=2AH=$\sqrt{3}$m，通过△ABF∽△AEC，即可得到结论．

解答 解：（1）在EB上截取EF=AE，连接AF，设∠BED=2α，
∴∠FAE=∠AFE=α，
∴∠AEC=∠AFB，
∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=2α，∠ABE+∠BAD=∠BED=2α，
∴∠CAE=∠ABE
∵在△ABF和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠AFB}\\{∠CAE=∠ABE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAE（AAS），
∴BF=AE=EF，
∴BE=2AE；

（2）如图2，在EB上截取EF=AE，连接AF，过E作EH⊥AF于H，设∠BED=2α，
∴∠FAE=∠AFE=α，
∴∠AEC=∠AFB，
∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=2α，∠ABE+∠BAD=∠BED=2α，
∴∠CAE=∠ABE，
∴△ABF∽△AEC，
∴$\frac{BF}{AE}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{k}$，
∴BF=$\frac{1}{k}$AE，
∴BE=BF+EF=BF+AE=$\frac{k+1}{k}$AE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BED=60°，∠DEC=30°，
∴∠AEF=120°，
∵AE=EF．
∴∠EAF=30°，AH=HF，
∴AF=2AH=$\sqrt{3}$m，
∵△ABF∽△AEC，
∴$\frac{AF}{CE}=\frac{AB}{AC}$，
∴CE=$\sqrt{3}$mk．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质对线段的比进行变化是解题的关键．