Question

如图，已知抛物线C₁的解析式为y=-x²+2x+8，图象与y轴交于D点，并且顶点A在双曲线上．
（1）求过顶点A的双曲线解析式；
（2）若开口向上的抛物线C₂与C₁的形状、大小完全相同，并且C₂的顶点P始终在C1上，证明：抛物线C₂一定经过A点；
（3）设（2）中的抛物线C₂的对称轴PF与x轴交于F点，且与双曲线交于E点，当D、O、E、F四点组成的四边形的面积为16.5时，先求出P点坐标，并在直线y=x上求一点M，使|MD-MP|的值最大．

Answer 1

分析：（1）把抛物线C₁的解析式化为顶点式即可求出A点坐标，再用待定系数法求出经过A点的双曲线解析式即可；
（2）设抛物线C₂的顶点P的坐标为（m，n），由点P（m，n）在抛物线C₁上可得出n、m的解析式，再根据C₁与C₂的形状、大小完全相同，开口向上，可设出抛物线C₂的解析式，令x=1即可得出抛物线C₂必经过得点；
（3）设抛物线C₂的对称轴为x=m，则OF=|m|，EF=|

9

m

|，由抛物线C₁的解析式求出D点坐标，再根据由D、O、E、F四点组成的四边形是梯形，由梯形的面积公式即可求出m的值，进而可求出P₁、P₂两点的坐标；
①当点D、P₁在直线y=x的同侧，连接P₁D交直线y=x于点M₁，则M₁点即为所求点，用待定系数法求出过D、P₁两点的直线解析式，根据此解析式与y=x有交点即可求出M₁点的坐标；
②点D、P₂在直线y=x的异侧，D点关于直线y=x的对称点为D′（8，0），连接D′P₂交直线y=x于M₂点，则M₂点即为所求点，用待定系数法求出过D、P₂两点的直线解析式，根据此解析式与y=x有交点即可求出M₂点的坐标，进而即可得出结论．

解答：解：（1）由抛物线C₁的解析式可得，y=-（x-1）²+9，
∴顶点A的坐标为（1，9）
设图象经过点A（1，9）的反比例函数解析式为y=

k

x

（k≠0），
把x=1，y=9代入得9=

k

1

，
解得k=9，
∴图象经过点A（1，9）的反比例函数的解析式为y=

9

x

；

（2）设抛物线C₂的顶点P的坐标为（m，n），
∵点P（m，n）在抛物线C₁上，
∴n=-m²+2m+8，
又∵C₁与C₂的形状、大小完全相同，开口向上，
∴可设抛物线C₂的解析式为y=（x-m）²+（-m²+2m+8）=x²-2mx+2m+8，
∴当x=1时，由抛物线C₂的解析式得，y=1-2m+2m+8=9，
∴抛物线C₂必经过A（1，9）点；

（3）如图1，设抛物线C₂的对称轴为x=m，则OF=|m|，EF=|

9

m

|，
由抛物线C₁的：y=-x²+2x+8得，D点坐标为（0，8），
∵由D、O、E、F四点组成的四边形是梯形，
∴（8+|

9

m

|）×|m|×

1

2

=16.5，解得m=±3，
当m=3时，n=-m²+2m+8=-3²+2×3+8=5，
∴P₁（3，5）；
当m=-3时，n=-m²+2m+8=-（-3）²+2×（-3）+8=-7，
∴P₂（-3，-7），

①如图2，点D、P₁在直线y=x的同侧，连接P₁D交直线y=x于点M₁，则M₁点即为所求点．
∵过D（0，8）、P₁（3，5）两点的直线解析式为y=-x+8，
由方程组

y=-x+8 y=x

得

x=4 y=4

；
∴M₁（4，4）；

②如图3，点D、P₂在直线y=x的异侧，D点关于直线y=x的对称点为D′（8，0），
连接D′P₂交直线y=x于M₂点，则M₂点即为所求点．
∵过D′（8，0）、P₂（-3，-7）两点的直线解析式为y=

7

11

x-

56

11

，
由方程组

y= 7 11 x- 56 11 y=x

得，

x=-14 y=-14

，
∴M₂（-14，-14）．

综上所述，当M点为（4，4）或（-14，-14）时，使得|MD-MP|的值最大．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、待定系数法求反比例函数的解析式及一次函数的解析式，涉及面较广，难度较大．