Question

【题目】阅读下列材料，并完成任务．

三角形的外心

定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心．

如图1，直线l1，l2，l3分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．

求证：直线l1，l2，l3相交于一点．

证明：如图2，设l1，l2相交于点O，分别连接OA，OB，OC

∵l1是AB的垂直平分线，

∴OA＝OB，（依据1）

∵l2是BC的垂直平分线，

∴OB＝OC，

∴OA＝OC，（依据2）

∵l3是AC的垂直平分线，

∴点O在l3上，（依据3）

∴直线l1，l2，l3相交于一点．

（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别指什么？

（2）如图3，直线l1，l2分别是AB，AC的垂直平分线，直线l1，l2相交于点O，点O是△ABC的外心，l1交BC于点N，l2交BC于点N，分别连接AM、AN、OA、OB、OC．若OA＝6cm，△OBC的周长为22cm，求△AMN的周长．

Answer 1

【答案】（1）依据1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；依据2：等量代换；依据3：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；（2）△AMN的周长为10cm．

【解析】

（1）此题实际上是证得点在上，所以利用线段垂直平分线的性质进行推理论证的；

（2）由线段的的垂直平分线的性质得到：，．同理，．所以，所以将的周长转化为求得线段的长度的问题，根据的周长的计算方法求得的长度即可．

解：（1）依据1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

依据2：等量代换；

依据3：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；

（2）如图，∵直线l1是AB的的垂直平分线，

∴AM＝AB，OA＝OB．

∵直线l2是AC的的垂直平分线，

∴AN＝CN，OA＝OC．

∴OB＝OC＝OA＝6cm，△AMN的周长＝AM+MN+AN＝BC，

∵△OBC的周长为22cm，

∴BC＝22﹣（OB+OC）＝22﹣12＝10（cm），

∴△AMN的周长为10cm．