Question

【题目】如图，等边△ABC和等边△ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，使用无刻度的直尺，通过连线的方式画图．

(1)在图1中画一个直角三角形； (2)在图2中画出∠ACE的平分线．

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】试题分析：（1）直接利用等边三角形的性质结合菱形的性质得出△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；

（2）利用菱形的判定与性质得出△AFG≌△EFH，得出FG=FH，进而结合角平分线的判定得出答案．

解：（1）如图①所示：连接AE，

∵△ABC与△ECD全等且为等边三角形，

∴四边形ACDE为菱形，连接AD，则AD平分∠EDC，

∴∠ADC=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAD=90°，

则△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形；

（2）如图②所示：连接AE、BE、AD，则四边形ABCE和四边形ACDE为菱形，

则AC⊥BE，AD⊥CE，设BE，AD相交于F，AC交BE于点G，CE交AD于点H，

则FG⊥AC，FH⊥BC，

由（1）得：∠BEC=∠DAC，∠AEF=∠EAF，

则AF=EF，

在△AFG和△EFH中

∵∠AGF=∠FHE,

∠GFA=∠HFE,

AF=EF,

∴△AFG≌△EFH（AAS），

∴FG=FH，

由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知，连接CF，GF为所作的角平分线．