Question

4．如图，在?ABCD中，D在AB的垂直平分线上，且?ABCD的周长为42cm，△BCD的周长比?ABCD的周长少12cm，则AB=12cm，S_?ABCD=36$\sqrt{5}$cm²．

Answer 1

分析 根据垂直平分线的性质可知，AD=DB，由于△ABD的周长比?ABCD的周长少10cm，所以可求出BD=9cm，再根据周长的值求出AB，根据勾股定理求出高DE，即可求出答案．

解答 解：∵AB的垂直平分线EF经过点D，
∴DA=DB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA=CB，
∵△ABD的周长比?ABCD的周长少10cm
∴BD=9cm，
∴ADBC=BD=9cm，
∵?ABCD的周长为42cm，
∴AB=DC=$\frac{1}{2}$×42cm-9cm=12cm，
在△ADB中，AD=BD=9cm，AB=12cm，
∵DE垂直平分AB，
∴∠AED=90°，AE=BE=6cm，由勾股定理得：DE=$\sqrt{{9}^{2}-{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$（cm），
∴S_{平行四边形ABCD}=AB×DE=12cm×3$\sqrt{5}$cm=36$\sqrt{5}$cm²，
故答案为：12，36$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了线段垂直平分线和平行四边形的性质，证得AD=BD=BC是解题的关键．