Question

是否可能将正整数1，2，3，…64分别填入8×8的正方形的64个小方格内，使得形如图（方向可以任意转置）的任意四个小方格内数总能被5整除，试说明理由．

Answer 1

分析：可用反证法来证明，假设有符合题设的填数方法，然后看看有没有矛盾即可．

解答：解：不可能
可用反证法来证明，假设有符合题设的填数方法a，b，c，d，e，f，g，h，i，j，k，l
∴5|b+c+f+g，5|j+e+f+g，作差有5|b-j，即b与j被5除同余，设余数为r．
∵5|j+f+b+g，5|e+f+b+g，∴5|j-e，即j与e被5除同余，余数也是r．
将图中的64个方格染成黑白相间的形式，可得：
b，j，e，g，d，…即除角上两黑格中的两数外，其余黑格中的0个数被5除都同余r．
这就与1至64这64个正整数中最多有13 个数被5除同余矛盾．
∴不可能有题设中的填法．

点评：本题考查数的整除性问题，关键是画出图通过反证法证明．