Question

如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．
（1）你认为点O在CF边上什么位置，请说明你的理由；
（2）在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上．已知正方形CDEF的面积为16，请你计算出正方形FGHK的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通过构建直角三角形，通过证明CO、OF所在直角三角形全等来得出O是CF中点的结论．
（2）由（1）可得出，EF、OF的值，在直角三角形OCH中，用小正方形的边长表示出CH、OC，然后根据勾股定理，求出小正方形边长的平方，这样就求出其面积了．
解答：解：（1）点O是CF边中点．
连接OD、OE，
则OD=OE，
又CD=FE，
∴Rt△DOC≌Rt△EOF，
∴OC=OF，即点O是CF的中点．

（2）连接OH，设正方形FGHK的边长为x．
由已知及（1）可得EF=4，OF=2．
∴OE²=OF²+EF²=2²+4²=20．
又OH²=OG²+GH²，OE=OH，
∴20=（2+x）²+x²．
整理得x²+2x-8=0．
解得x₁=-4（不合题意，舍去），x₂=2．
所以正方形FGHK的面积是4．
点评：本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质，一元二次方程的应用以及勾股定理等知识的综合应用能力．