Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相交于E、F，AC⊥CD，垂足为C．
（1）求证：∠BAF=∠CAE；
（2）若移动直线CD，使它与线段AB相交（交点除点A和点B），其它条件不变，则（1）中结论是否成立？若成立．请证明；若不成立，试说明理由；
（3）若直线CD与⊙O相切于T点，其它条件不变，先画出图形，再写一个结论，并证明．（图2、图3为备用图形）

Answer 1

分析：（1）根据圆内接四边形的外角等于它相邻的内对角以及圆周角定理得出即可；
（2）利用直径所对圆周角等于90°，以及同弧所对圆周角相等得出即可；
（3）首先证明∠CET=∠CTA，再利用相似三角形的判定以及性质得出比例式，即可得出答案．

解答：（1）证明：连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵AC⊥CD，
∴∠ACE=90°，
∵∠ABF=∠CEA，（圆内接四边形的外角等于它相邻的内对角）
∴∠BAF=∠CAE；

（2）结论：成立．
证明：连接AE，AF，BF
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵AC⊥CD，
∴∠ACE=90°，
∵∠AEC=∠ABF，（同弧所对圆周角相等）
∴∠BAF=∠CAE；

（3）结论：CT²=CE×AC．
证明：假设CD与圆相切于点T，连接ET，AT，TO，BT，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ATB=90°，
∵AC⊥CD，
∴∠ACT=90°，
∵CD与圆相切于点T，
∴∠OTD=90°，
∵∠OTB+∠BTD=90°，
∴∠ATO=∠DTB，
∵AO=OT，
∴∠OAT=∠ATO=∠DTB，
∵∠B+∠TAB=90°，∠DTB+∠CTA=90°，
∴∠B=∠CTA，
∵∠B=∠CET，
∴∠CET=∠CTA，
∵∠ACT=∠ACT，
∴△ACT∽△TCE，
∴

CT

CE

=

AC

CT

，
∴CT²=CE×AC．

点评：此题主要考查了圆周角定理的综合应用以及圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练地应用其性质利用三角形相似得出是解决问题的关键．