Question

如图，在四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN、BN、DM、CM划分四边形所形成的7个区域的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄、S₅、S₆、S₇．那么恒成立的关系式为（　　）

• A、S₂+S₆=S₄
• B、S₁+S₇=S₄
• C、S₂+S₃=S₄
• D、S₁+S₆=S₄

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：过A作AE⊥DC于E，过M作MH⊥DC于H，过B作BQ⊥DC于Q，得出梯形AEQB和得出MH是梯形的中位线，推出2MH=AE+BQ，根据三角形面积公式求出S₃+S₄+S₆=

1

2

×DC×MH，S₇+S₆=

1

2

×NC×BQ，S₁+S₃=

1

2

×DN×AE，推出S₇+S₆+S₁+S₃=

1

2

CD×MH，推出S₇+S₆+S₁+S₃=S₃+S₄+S₆，即可得出选项．

解答：解：
过A作AE⊥DC于E，过M作MH⊥DC于H，过B作BQ⊥DC于Q，
则AE∥MH∥BQ，
∵M为AB中点，
∴H为EQ中点，
即MH是梯形AEQB的中位线，
∴2MH=AE+BQ，
∵S₃+S₄+S₆=S_△MDC=

1

2

×DC×MH，
S₇+S₆=S_△BNC=

1

2

×NC×BQ，
S₁+S₃=S_△ADN=

1

2

×DN×AE，
∵DN=CN（N为DC中点），
∴S₇+S₆+S₁+S₃
=

1

2

×NC×AE+

1

2

×DN×AE
=

1

2

DN×（AE+BQ）
=

1

2

DN×2MH
=DN×MH
=

1

2

CD×MH，
∴S₇+S₆+S₁+S₃=S₃+S₄+S₆，
∴S₁+S₇=S₄，
故选B．

点评：本题考查了面积与等积变换的应用，主要考查学生的计算和推理能力，题目比较特殊，有一定的难度．