Question

在平面直角坐标系中，抛物线过点，且与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.点D的坐标为，连接CA，CB，CD.

（1）求证：；
（2）是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP交BC于点E.
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标；
②连接CP，当△CDP的面积最大时，求点E的坐标.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）（4，），（6-，）；（，）．

试题分析：（1）把点（2，4）代入抛物线解析式计算即可求出m的值，然后求出点A、B、C的坐标，过点B作BM⊥CD交CD的延长线于M，然后求出∠CDO=∠BDM=45°，利用勾股定理列式分别求出CD、DM、BM，再根据锐角的正切相等证明即可；
（2）①利用勾股定理列式求出BC，再分BE=DE时，利用等腰三角形三线合一的性质求解，BE=BD时，利用∠OBC的正弦和余弦求解；
②根据抛物线解析式设出点P的坐标，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交CD的延长线于点Q，再求出直线CD的解析式，然后写出点Q的坐标，再根据S△CDP=S△CPQ-S△DPQ列式整理，然后利用二次函数的最值问题求出点P的坐标，利用待定系数法求出直线PD的解析式，联立直线PD、BC的解析式，求解即可得到点E的坐标．
试题解析:（1）∵抛物线y=mx²+（m+2）x+2过点（2，4），
∴m•2²+2（m+2）+2=4，
解得m=-，
∴抛物线解析式为y=-x²+x+2，
令y=0，则-x²+x+2=0，
整理得，x²-5x-6=0，
解得x₁=-1，x₂=6，
令x=0，则y=2，
∴A（-1，0），B（6，0），C（0，2），
过点B作BM⊥CD交CD的延长线于M，
在Rt△DOC中，∵OC=OD=2，
∴∠CDO=∠BDM=45°，CD=2，
在Rt△BMD中，∵BD=6-2=4，
∴DM=BM=4×，
在Rt△CMD中，tan∠BCM=，
又∵tan∠ACO=，
∴∠ACO=∠BCD；
（2）①由勾股定理得，BC=，
BE=DE时，点E的横坐标为6-×（6-2）=4，点E的纵坐标是×（6-2）×=，
所以，点E₁（4，）；
BE=BD时，点E的横坐标为6-（6-2）×=6-，点E的纵坐标为（6-2）×=，
所以，点E₂（6-，），
综上所述，点E₁（4，）；或E₂（6-，）时，△BDE是等腰三角形；
②设P（x，-x²+x+2），
过点P作x轴的垂线，垂足为F，交CD的延长线于点Q，
则直线CD的解析式为y=-x+2，

∴点Q（x，-x+2），
S_△CDP=S_△CPQ-S_△DPQ，=PQ•OF-PQ•DF=PQ•OD，
∵OD=2，
∴S_△CDP=PQ=-x²+x+2-（-x+2）=-x²+x（0＜x＜6），
∵S=-x²+x=-（x-4）²+，
∴当x=4时，△CDP的面积最大，
此时，-x²+x+2=-×4²+×4+2=，
∴点P（4，），
设直线PD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
∴直线PD的解析式为y=x-，
直线BC的解析式为y=-x+2，
联立 ，
解得 ，
所以，点E的坐标为（，）．
考点: 二次函数综合题.