Question

1．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a+4|+（b-1）²=0．现将A、B之间的距离记作|AB|，定义|AB|=|a-b|．
（1）|AB|=5；
（2）设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|-|PB|=2时，直接写出x的值；
（3）设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|+|PB|=7时，直接写出x的值．

Answer 1

分析 （1）由|a+4|+（b-1）²=0得出a=-4，b=1，结合定义|AB|=|a-b|，即可得出结论；
（2）若x-1与x+4同号，则|PA|-|PB|=±|AB|=±5，故能得出x+4＞0，x-1＜0，去绝对值符号，解出方程即可；
（3）若x-1与x+4异号，则|PA|+|PB|=|AB|=5，再分别按照当x-1＞0时和当x+4＜0时讨论，即可得出结论．

解答 解：（1）∵|a+4|+（b-1）²=0，
∴a+4=0，b-1=0，即a=-4，b=1．
|AB|=|a-b|=|-4-1|=5．
故答案为：5．
（2）|PA|-|PB|=|x-（-4）|-|x-1|=|x+4|-|x-1|=2，
∵若x-1与x+4同号，则|PA|-|PB|=±|AB|=±5，
∴x+4＞0，x-1＜0，
|PA|-|PB|=x+4-（1-x）=3-2x=2，
解得x=$\frac{1}{2}$．
（3）|PA|+|PB|=|x-（-4）|+|x-1|=|x+4|+|x-1|=7，
∵若x-1与x+4异号，则|PA|+|PB|=|AB|=5，
∴x-1与x+4同号．
①当x-1＞0时，|PA|+|PB|=x+4+（x-1）=2x+3=7，
解得x=2；
②当x+4＜0时，|PA|+|PB|=-（x+4）-（x-1）=-2x-3=7，
解得x=-5．
综①②得，当|PA|+|PB|=7时，x的值为2或-5．

点评 本题考查了绝对值以及数轴，解题的关键是：（1）由|a+4|+（b-1）²=0得出a=-4，b=1；（2）由“若x-1与x+4同号，则|PA|-|PB|=±|AB|=±5”得出x+4＞0，x-1＜0；（3）由“若x-1与x+4异号，则|PA|+|PB|=|AB|=5”得出x-1与x+4同号．