Question

（1）如图1，过正方形ABCD内部任意一点O作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，证明：EF=GH；
（2）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？图2是其中一种情形，试就该图形对你的结论加以证明．

Answer 1

分析：（1）过E作EK⊥BC于K，过H作HT⊥AB于T，证明△EKF≌△HTG即可；
（2）过正方形内任意一点P作m、n的平行线，利用（1）的结论即可证明．

解答：解：（1）过E作EK⊥BC于K，过H作HT⊥AB于T，

在△EKF和△HTG中，EF=HT=BC=AD，
∠HTG=∠BKF，∠THG=∠KEF，
∴△EKF≌△HTG，∴EF=GH．
（2）EF=GH．

过正方形内任意一点P作m、n的平行线，
∴GH=QR，EF=MN，
QK⊥CD，MT⊥BC，
在△QRK和△MNT中，MT=QK，
∠MTN=∠QKR，∠TMN=∠KQR，
∴△QRK≌△MNT，∴QR=MN，
即EF=GH．

点评：本题考查的是正方形四边相等，且各内角均为直角的性质，考查了全等三角形的证明；本题中构建全等三角形并且证明其全等是解本题的关键．