Question

【题目】已知：如图，正方形ABCD，点E是DC边上的一动点，过点C作AE的垂线交AE延长线于点F，过D作DH⊥CF，垂足为H，点O是AC中点，连HO．

（1）如图1，当∠CAE＝∠DAE时，证明：AE＝2CF；

（2）如图2，当点E在DC上运动时，线段AF与线段HO之间是否存在确定的数量关系？若存在，证明你发现的结论：若不存在，请说明理由；

（3）当E为DC中点时，AC＝2，直接写出AF的长　 ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AF＝OH，理由见解析；（3）．

【解析】

（1）如图1，延长AD、CH交于M，证明△ACF≌△AMF（ASA），得CM=2CF，再证明△ADE≌△CDM（ASA），可得结论；

（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMC≌△OND（AAS），并证明四边形MONH是正方形，得OH=OM，根据三角形中位线定理可得是结论；

（3）如图1，证明△ADE∽△CFE，得CF=2EF，利用正方形的性质和勾股定理计算AD=CD=2，分别计算AE和EF的长可得结论．

（1）证明：如图1，延长AD、CH交于M，

∵AF⊥CF，

∴∠AFC＝∠AFM＝90°，

∵∠DAE＝∠CAE，AF＝AF，

∴△ACF≌△AMF（ASA），

∴CF＝FM，

∴CM＝2CF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADC＝90°，

∴∠ADC＝∠CDM＝90°，

∵∠ADE＝∠EFC＝90°，∠AED＝∠CEF，

∴∠ECF＝∠EAD，

∴△ADE≌△CDM（ASA），

∴AE＝CM＝2CF；

（2）解：AF＝OH，理由是：

如图2，过O作ON⊥DH于N，OM⊥CH于M，连接OD，

∴∠OMH＝∠ONH＝∠MHN＝90°，

∴四边形MONH为矩形，

∴∠MON＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OD＝OC，∠DOC＝90°，

∴∠MOC＝∠DON，

∵∠OMC＝∠OND＝90°，

∴△OMC≌△OND（AAS），

∴OM＝ON，

∴矩形MONH是正方形，

∴OH＝OM，

△ACF中，∵OA＝OC，OM∥AF，

∴CM＝FM，

∴AF＝2OM，

∴＝，即AF＝OH；

（3）∵∠ADE＝∠EFC＝90°，∠AED＝∠CEF，

∴△ADE∽△CFE，

∴＝＝＝2，

∵四边形ABCD是正方形，且AC＝2，

∴AD＝CD＝2，

∵E是CD的中点，

∴DE＝CE＝1，

由勾股定理得：AE＝＝＝，

设EF＝x，则CF＝2x，

∴CE＝x＝1，

x＝，

∴EF＝，

∴AF＝+＝．

故答案为：．