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    （2013•福州质检）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，DE=2，线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始），速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．
    （1）求证：四边形MFCN是矩形；
    （2）设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；
    （3）在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值．
    分析：（1）根据平行线的性质可以证得四边形MFCN的三个角是直角，则可以证得是矩形；
    （2）利用t表示出MN、MF的长，然后根据S=S△MDE+S△MNE=
    1
    2
    DE•MF+
    1
    2
    MN•MF即可得到关于t的函数，利用函数的性质即可求解；
    （3）当△NME∽△DEM时利用相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值；
    当△EMN∽△DEM时，根据相似三角形的对应边的比相等可以得到
    NM
    EM
    =
    EM
    DE
    即EM2=NM•DE．然后在Rt△MEF中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求解．
    解答：解：（1）证明：∵MF⊥AC，
    ∴∠MFC=90°．              
    ∵MN∥AC，
    ∴∠MFC+∠FMN=180°．
    ∴∠FMN=90°．                           
    ∵∠C=90°，
    ∴四边形MFCN是矩形．     

    （2）解：当运动时间为t秒时，AD=t，
    ∵F为DE的中点，DE=2，
    ∴DF=EF=
    1
    2
    DE=1．
    ∴AF=t+1，FC=8-（t+1）=7-t．
    ∵四边形MFCN是矩形，
    ∴MN=FC=7-t．     
    又∵AC=BC，∠C=90°，
    ∴∠A=45°．
    ∴在Rt△AMF中，MF=AF=t+1，
    ∴S=S△MDE+S△MNE=
    1
    2
    DE•MF+
    1
    2
    MN•MF
    =
    1
    2
    ×2（t+1）+
    1
    2
    （7-t）（t+1）=-
    1
    2
    t2+4t+
    9
    2
        
    ∵S=-
    1
    2
    t2+4t+
    9
    2
    =-
    1
    2
    （t-4）2+
    25
    2

    ∴当t=4时，S有最大值．                     

    （3）∵MN∥AC，
    ∴∠NME=∠DEM．            
    ①当△NME∽△DEM时，
    ∴
    NM
    DE
    =
    EM
    ME
    ．          
    ∴
    7-t
    2
    =1，解得：t=5．                       
    ②当△EMN∽△DEM时，∴
    NM
    EM
    =
    EM
    DE
    ．           
    ∴EM2=NM•DE．
    在Rt△MEF中，ME2=EF2+MF2=1+（t+1）2，
    ∴1+（t+1）2=2（7-t）．
    解得：t1=2，t2=-6（不合题意，舍去）
    综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．
    点评：本题考查了矩形的判定，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，正确分情况讨论是关键．
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    x … -2-
    		3
    		 … -2+
    		3
    		 …
    		2
    -1    		 …
    		2
    +1    		 …
    y … -2+
    		3
    		 … -2-
    		3
    		 …
    		2
    +1    		 …
    		2
    -1    		 …
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    1.5
    1.5
    ．

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    BE
    AF
    的值是
    1
    2
    1
    2
    ；
    （2）按要求画图：找出格点D，连接CD，使∠ACD=90°；
    （3）在（2）的条件下，连接AD，求tan∠BAD的值．

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