Question

8．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=$\sqrt{10}$，tan∠AOC=$\frac{1}{3}$，点B的坐标为（m，-2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥X轴于E，由tan∠AOE=$\frac{1}{3}$，得到OE=3AE，根据勾股定理即可求出AE和OE的长，即得到A的坐标，代入双曲线即可求出k的值，得到解析式；把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出B的坐标，把A和B的坐标代入一次函数的解析式即可求出a、b的值，即得到答案；
（2）求出C的坐标，根据S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC列式即可

解答 解：（1）过A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于点F，

∵tan∠AOE=$\frac{1}{3}$，
∴OE=3AE，
∵OA=$\sqrt{10}$，
∴由勾股定理得：OE²+AE²=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐标为（3，1），
∵A点在双曲线上，
∴1=$\frac{k}{3}$，解得：k=3，
∴双曲线的解析式y=$\frac{3}{x}$．
∵B（m，-2）在双曲y=$\frac{3}{x}$，
∴-2=$\frac{3}{m}$，解得：m=-$\frac{3}{2}$，
∴B的坐标是（-$\frac{3}{2}$，-2），
代入一次函数的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=1}\\{-\frac{3}{2}a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
故一次函数的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x-1；

（2）在y=$\frac{2}{3}$x-1中，当y=0时，x=$\frac{3}{2}$，
故点C坐标为（$\frac{3}{2}$，0），
∴S_△AOB=S_△BOC+S_△AOC
=$\frac{1}{2}$×OC×BF+$\frac{1}{2}$×OC×AE
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1
=$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查了锐角三角函数的定义，三角形的面积，用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求正比例函数的解析式，勾股定理等知识点，综合运用这些知识进行计算是解此题的关键．