Question

【题目】已知：关于的一元二次方程（是整数）．

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根分别为，（其中），设，则是否为变量的函数？如果是，求出函数的解析式；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；（2）答案见解析.

【解析】

（1）根据一元二次方程的定义得到k≠0，再计算出判别式得到△=（2k-1）2，根据k为整数和非负数的性质得到△＞0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）根据根与系数的关系得x1+x2= ，x1x2= ，则根据完全平方公式变形得（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=，由于k为整数，则2- ＞0且，所以x2-x1=2-，则x2 =x1+2-，∴y= x1+2-．

证明：根据题意得k≠0，

∵△=（4k+1）2-4k（3k+3）=4k2-4k+1=（2k-1）2，

而k为整数，

∴2k-1≠0，

∴（2k-1）2＞0，即△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

解：y是变量k的函数．

∵x1+x2=，x1x2=

∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=,

∵k为整数，

∴则2- ＞0且，所以x2-x1=2-，则x2 =x1+2-，

∴y= x1+2-（k≠0的整数），

∴y是变量k的函数．