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    20．如图1所示的是一组圆形沙发与圆桌的实物图，图2所示的是这组沙发桌椅的俯视平面图，这组桌椅在闲暇不用时，可以合拢成一个大的圆形（如图3），每个沙发可坐部分的宽度（图2中CD的长）为50$\sqrt{2}$cm，可坐两个成年人．
    （1）求圆桌的面积（结果保留π）；
    （2）若量得BC的长为40cm，求每个沙发的面积（结果保留π）；
    （3）若将合拢的沙发向后拉开，当沙发拉开后CD连线至少应与圆桌相切时，客人才可以进沙发，问拉开的距离至少应为多长？（精确到0.01，$\sqrt{2}$≈1.414）

    分析 （1）先求出圆的周长，即可求出半径；
    （2）先根据圆的面积公式求出4个沙发的面积，再求出每个沙发的面积即可；
    （3）根据OE长求出EF长，根据勾股定理求出OM，求出GM，即可得出答案．

    解答 解：（1）如图所示，连接EF，过O作OG⊥EF于M，交CD于G，交弧CD于N，

    因为由题意知：弧EF=弧CD=50$\sqrt{2}$，
    所以圆桌周长=2π•OE=4×弧EF，
    所以圆桌半径OE=$\frac{4×50\sqrt{2}}{2π}$=$\frac{100\sqrt{2}}{π}$；

    （2）沙发总面积=π（OE+BC）2-π•OE2=π•（$\frac{100\sqrt{2}}{π}$+40）2-π•（$\frac{100\sqrt{2}}{π}$）2=（8000$\sqrt{2}$+1600）π，
    所以每个沙发面积=$\frac{（8000\sqrt{2}+1600）π}{4}$=400（5$\sqrt{2}$+1）π；

    （3）∵如图所示：易知△EOF是等腰直角三角形，
    ∴EF=$\sqrt{2}$OE=$\frac{200}{π}$，
    根据垂径定理可知：EM=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{100}{π}$，
    ∴OM=$\sqrt{O{E}^{2}-E{M}^{2}}$=$\frac{100}{π}$，
    ∴GM=OG-OM=$\frac{100\sqrt{2}}{π}$-$\frac{100}{π}$=$\frac{100（\sqrt{2}-1）}{π}$≈13.18，
    ∵弧EF=弧CD，
    ∴GN=GM=13.18，
    ∴至少拉开13.18cm．

    点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理，圆的切线的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．

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