Question

6．关下x的方程|$\frac{{x}^{2}}{x-1}$|=a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是0＜a＜4．

Answer 1

分析 先把分式方程去分母化成x²=a|x-1|，根据实际意义得：a＞0，x≠1，再将x-1分情况讨论：当x-1＞0时，当x-1＜0时，去掉绝对值后计算△的值，分三种情况列不等式或等式，求a的取值．

解答 解：原方程可化为：x²=a|x-1|（a＞0，x≠1），
当x-1＞0时，x²=a（x-1），
x²-ax+a=0，
△₁=a²-4a=a（a-4），
当x-1＜0时，x²=-a（x-1），
x²+ax-a=0，
△₂=a²+4a=a（a+4），
∵方程|$\frac{{x}^{2}}{x-1}$|=a仅有两个不同的实根，
∴分三种情况：
①当△₁＞0，△₂＜0时，原方程有两个不同的实根，
则$\left\{\begin{array}{l}{a（a-4）＞0}\\{a（a+4）＜0}\end{array}\right.$，此不等式组无解；
②当△₁＜0，△₂＞0时，原方程有两个不同的实根，
则$\left\{\begin{array}{l}{a（a-4）＜0}\\{a（a+4）＞0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜4；
③当△₁=0，△₂=0时，原方程有两个不同的实根，
则$\left\{\begin{array}{l}{a（a-4）=0}\\{a（a+4）=0}\end{array}\right.$，此方程组无解
综上所述：实数a的取值范围是0＜a＜4．
故答案为：0＜a＜4．

点评 本题考查了根据分式方程的解求字母取值问题，此类问题容易出错，因此要注意：①考虑分母不能为0；②注意增根的出现，解方程后要检验，原因是在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．