Question

19．在边长为5正方形ABCD中，点E是BC上，且BE=2，点M、N是对角线BD上两点，且MN=$\sqrt{2}$．当四边形CEMN周长最小时，则cos∠BCN的值$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 根据题意得出作EF∥BD且EF=$\sqrt{2}$，连结AF交BD于N，在BD上截取MN=$\sqrt{2}$，此时四边形CEMN的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．

解答 解：作EF∥BD且EF=$\sqrt{2}$，连结AF交BD于N，在BD上截取MN=$\sqrt{2}$，延长AF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，则四边形BMNE的周长最小，
由∠FEQ=∠DBC=45°，可求得FQ=EQ=1，
∵∠APB=∠FPQ，∠ABP=∠FQP，
∴△PFQ∽△PAB，
∴$\frac{PQ}{PQ+EQ+BE}$=$\frac{FQ}{AB}$，
∴$\frac{PQ}{PQ+3}$=$\frac{1}{5}$，
解得：PQ=$\frac{3}{4}$，
∴PB=3+$\frac{3}{4}$=$\frac{15}{4}$，
由对称性可求得tan∠BCN=tan∠PAB=$\frac{\frac{15}{4}}{5}$=$\frac{3}{4}$．
∴cos∠BCN=$\frac{4}{5}$
故答案为$\frac{4}{5}$．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解题关键．