Question

如图，在?ABCD中，E是CD的延长线上一点，且DE=

1

2

CD，BE与AD交于点F．
（1）求证：AF=2FD；
（2）若△DEF的面积为2，求?ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）可证明△ABF∽△DEF，

AF

FD

=

AB

DE

，再由DE=

1

2

CD，AB=CD，可得出结论；
（2）由（1）得△ABF∽△DEF，则S_△ABF：S_△DEF=（AF：AD）²，还可证明△EFD∽△EBC，则S_△EFD：S_△EBC=（ED：EC）²，根据△DEF的面积为2，从而得出S_△ABF和S_{四边形BCDF}，再相加即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD
∴∠ABF=∠E，∠A=∠FDE
∴△ABF∽△DEF…（2分）
∴

AF

FD

=

AB

DE

．
∵DE=

1

2

CD，AB=CD
∴DE=

1

2

AB．…（3分）
∴

AF

FD

=

AB

DE

=2．
∴AF=2FD…（4分）

（2）解：∵△ABF∽△DEF，
∴

S△ABF

S△DEF

=(

AF

FD

)2=4，
又∵△DEF的面积为2，
∴S_△ABF=8…（6分），
∵DE=

1

2

CD，
∴

DE

EC

=

1

3

，
∵AD∥BC，
∴∠EFD=∠EBC，∠EDF=∠C，
∴△EFD∽△EBC，
∴

S△EFD

S△EBC

=(

ED

EC

)2=

1

9

，
又∵△DEF的面积为2，
∴S_△EBC=18…（8分），
∴S_{四边形BCDF}=S_△EBC-S_△EFD=18-2=16…（9分），
∴S_□ABCD=S_{四边形BCDF}+S_△ABF=16+8=24…（10分）．

点评：本题是一道综合题，考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定以及三角形的面积，是中考的重点内容，要熟练掌握．