Question

13．如图，在直角坐标系中，直线l₁：y=-$\frac{1}{3}$x+1与x轴交于点C，与y轴交于点A分别以OC、OA为边作矩形ABCO，直线l₂：y=x交线段AB于点E．
（1）求点B、E的坐标；
（2）如图，点F为线段BC的中点，点P为直线l₂上一点，点Q为x轴上一点，求四边形BFQP周长的最小值以及周长最小时点P的坐标；
（3）若点D为点A关于x轴的对称点，连接CD，将直线l₁：y=-$\frac{1}{3}$x+1沿着x轴平移，平移后的直线记为l₃，直线l₃与x轴交于点M，与射线CD交于点N，是否存在这样的点N，使得△OMN为等腰三角形，若存在，请画出满足条件的等腰△OMN并直接写出点N的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在y=-$\frac{1}{3}$x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=3，得到A（0，1），C（3，0），于是得到结论；
（2）由点F为线段BC的中点，得到F（3，$\frac{1}{2}$），作B关于直线y=x的对称点B′，得到B′（1，3），作F关于x轴的对称点F′，则F′（3，-$\frac{1}{2}$），连接B′F′交l₂与P，交x轴于Q，则此时四边形BFQP的周长最小，求得直线B′F′的解析式为：y=-$\frac{7}{4}$x+$\frac{19}{4}$，列方程组得到P（$\frac{19}{11}$，$\frac{19}{11}$），作B′G∥y轴，F′G∥x轴，两线交于G，根据勾股定理得到结论；
（3）①如图2，若OM=MN，过N作NI⊥x轴于I，根据等腰三角形的性质得到∠ACO=∠DCO，根据相似三角形的判定和性质得到NI：IC：CN=1：3：$\sqrt{10}$，设NI=m，CI=3m，CN=$\sqrt{10}$m，得到OM=MN=$\sqrt{10}$m，MI=IC=3m，列方程得到N（$\frac{24+9\sqrt{10}}{26}$，-$\frac{18-3\sqrt{10}}{26}$）；
②如图3，当OM=ON，过N作NI⊥x轴于I，则△CMN是等腰三角形，设IN=m，根据勾股定理得到N（$\frac{12}{13}$，-$\frac{9}{13}$）；③如图4，当OM=MN，过N作NI⊥x轴于I，则△CMN是等腰三角形，设IN=m，同①得，IN=m，IC=IM=3m，CN=$\sqrt{10}$m列方程得到N（$\frac{24-9\sqrt{10}}{26}$，-$\frac{18+3\sqrt{10}}{26}$）．

解答 解：（1）在y=-$\frac{1}{3}$x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=3，
∴A（0，1），C（3，0），
∴OA=1，OC=3，
∵四边形ABCO是矩形，
∴B（3，1），
∵直线l₂：y=x交线段AB于点E，
∴E（1，1）；
（2）∵点F为线段BC的中点，
∴F（3，$\frac{1}{2}$），
作B关于直线y=x的对称点B′，
则△B′EB是等腰直角三角形，
∴B′（1，3），
作F关于x轴的对称点F′，则F′（3，-$\frac{1}{2}$），连接B′F′交l₂与P，交x轴于Q，
则此时四边形BFQP的周长最小，
∵B′（1，3），F′（3，-$\frac{1}{2}$），
∴直线B′F′的解析式为：y=-$\frac{7}{4}$x+$\frac{19}{4}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{7}{4}x+\frac{19}{4}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{19}{11}}\\{y=\frac{19}{11}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{19}{11}$，$\frac{19}{11}$），
作B′G∥y轴，F′G∥x轴，两线交于G，
则B′G=$\frac{7}{2}$，GF′=2，
∴B′F′=$\sqrt{（\frac{7}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$，
∴四边形BFQP周长的最小值是$\frac{\sqrt{65}}{2}$+$\frac{1}{2}$；
（3）存在，
①如图2，若OM=MN，
过N作NI⊥x轴于I，
∵AO=OD，OC⊥AD，
∴AC=CD，
∴∠ACO=∠DCO，
∵l₃∥l₁，
∴∠CMN=∠ACO，
∴∠ODC=∠CMN，
∴MN=CN，
∵△CIN∽△COD，
∴NI：IC：CN=1：3：$\sqrt{10}$，
设NI=m，CI=3m，CN=$\sqrt{10}$m，
∴OM=MN=$\sqrt{10}$m，MI=IC=3m，
∴$\sqrt{10}$m+3m+3m=3，
∴m=$\frac{18-3\sqrt{10}}{26}$=IN，
∴OI=（$\sqrt{10}$+3）•m=$\frac{24+9\sqrt{10}}{26}$，
∴N（$\frac{24+9\sqrt{10}}{26}$，-$\frac{18-3\sqrt{10}}{26}$）；
②如图3，当OM=ON，
过N作NI⊥x轴于I，则△CMN是等腰三角形，
∴MN=NC，设IN=m，
同①得，IN=m，IC=IM=3m，CN=$\sqrt{10}$m，
∴OM=6m-3，
∴ON=6m-3，OI=OC-IC=3-3m，
在Rt△OIN中，（6m-3）²=m²+（3-3m）²，
∴m=$\frac{9}{13}$，m=0（舍去），
∴OI=3-3×$\frac{9}{13}$=$\frac{12}{13}$，
∴N（$\frac{12}{13}$，-$\frac{9}{13}$）；
③如图4，当OM=MN，
过N作NI⊥x轴于I，则△CMN是等腰三角形，
∴MN=NC，设IN=m，
同①得，IN=m，IC=IM=3m，CN=$\sqrt{10}$m，
∴OM=MN=CN=$\sqrt{10}$m=6m-3，
∴m=$\frac{18+3\sqrt{10}}{26}$，
∴OI=CI-3=3m-3=$\frac{-24+9\sqrt{10}}{26}$，
∴N（$\frac{24-9\sqrt{10}}{26}$，-$\frac{18+3\sqrt{10}}{26}$）；
综上所述：点N的坐标是（$\frac{24+9\sqrt{10}}{26}$，-$\frac{18-3\sqrt{10}}{26}$），（$\frac{12}{13}$，-$\frac{9}{13}$），（$\frac{24-9\sqrt{10}}{26}$，-$\frac{18+3\sqrt{10}}{26}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，正确的作出图形是解题的关键．