Question

15．观察下列各式并按规律填空：
$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$； $\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$； $\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$…
（1）$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$．
（2）按此规律第n个式子可以表示为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$．
（3）并说明上面式子成立的理由．（请写出推导过程）

Answer 1

分析 （1）利用已知数据之间变化规律得出根号下与根号外数据的变化规律进而得出答案；
（2）利用已知数据之间变化规律得出根号下与根号外数据的变化规律进而得出答案；
（3）利用二次根式的性质化简求出即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$； $\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$； $\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$…
∴$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；
故答案为：5$\sqrt{\frac{1}{6}}$，6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；

（2）由（1）得按此规律第n个式子可以表示为：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$；
故答案为：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$；

（3）∵$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$
=$\sqrt{\frac{n（n+2）}{n+2}+\frac{1}{n+2}}$
=$\sqrt{\frac{{n}^{2}+2n+1}{n+2}}$
=$\sqrt{\frac{（n+1）^{2}}{n+2}}$
=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$．

点评 此题主要考查了二次根式的化简求值，正确得出数字之间变化规律是解题关键．