Question

【题目】如图，A（6, 0），B（0, 4），点B关于x轴的对称点为C点，点D在x轴的负半轴上，△ABD的面积是30.

（1）求点D坐标.

（2）若动点P从点B出发，沿射线BC运动，速度为每秒1个单位，设P的运动时间为t秒，△APC的面积为S，求S与t的关系式.

（3）在（2）的条件下，同时点Q从D点出发沿x轴正方向以每秒2个单位速度匀速运动，若点R在过A点且平行于y轴的直线上，当△PQR为以PQ为直角边的等腰直角三角形时，求满足条件的t值，并直接写出点R的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（-9，0）；（2）当0＜t≤8时，S=×（8-t）×6=-3t+24；当t＞8时，S=×（t-8）×6=3t-24；（3）t=10秒或11秒或17秒时，△PQR是等腰直角三角形．

【解析】

（1）根据三角形面积公式求出AD即可．
（2）分两种情形①当0＜t≤8时，②当t＞8时，求出△PAC面积即可．
（3）分三种情形①如图1中，当∠QPR=90°，PQ=PR时，作RH⊥OP于H，②如图2中，当∠PQR=90°，QR=PQ时，③如图3中，当∠QRP=90°，QR=PR，利用全等三角形的性质列出方程即可解决．

解：（1）∵A（6，0），B（0，4），△ABD的面积是30，

∴ADBO=30，
∴AD4=30，
∴AD=15，
∴OD=9，
∴点D坐标为（-9，0）．

（2）∵点B（0，4）关于x轴的对称点为C点，
∴点C坐标（0，-4），
∴当0＜t≤8时，S=×（8-t）×6=-3t+24，
当t＞8时，S=×（t-8）×6=3t-24．

（3）①如图1中，

图1

当∠QPR=90°，PQ=PR时，作RH⊥OP于H，
∵∠QPO+∠RPH=90°，∠QPO+∠PQO=90°，
∴∠PQO=∠RPH，
在△PQO和△RPH中，

∴△PQO≌RPH，
∴RH=PO，
∵四边形AOHR是矩形，
∴RH=AO=6，
∴OP=6，
∴t-4=6，
∴t=10．

②如图2中，

图2

当∠PQR=90°，QR=PQ时，
∵∠RQA+∠OQP=90°，∠OQP+∠OPQ=90°，
∴∠RQA=∠OPQ，
在△ARQ和△OQP中，

∴△ARQ≌△OQP，
∴OP=AQ，
∴t-4=2t-15，
∴t=11．

③如图3中，

图3

当∠QRP=90°，QR=PR，
∵∠RQA+∠PRH=90°，∠PRH+∠RPH=90°，/span>
∴∠QRA=∠RPH，
在△AQR和△HRP中，

∠QRA＝∠RPH

∠QAR＝∠RHP

QR＝PR

∴△AQR≌△HRP，
∴AQ=RH，AR=PH=AO=6，
∴OP=AH=RH-AR=AQ-AR=AQ-6
∴t-4=2t-15-6，
∴t=17．

综上所述t=10秒或11秒或17秒时，△PQR是等腰直角三角形．