Question

【题目】如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．

（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；

（2）求证：OA2＝OEDC：

（3）求tan∠ACD的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan∠ACD＝2﹣．

【解析】

（1）根据BM为切线，BC平分∠ABM，求得∠ABC的度数，再由直径所对的圆周角为直角，即可求证；

（2）根据三角形相似的判定定理证明三角形相似，再由相似三角形对应边成比例，即可求证；

（3）由图得到∠ACD＝∠ABD，根据各个角之间的关系求出∠AFD的度数，用AD表达出其它边的边长，再代入正切公式即可求得.

（1）∵BM是以AB为直径的⊙O的切线，

∴∠ABM＝90°，

∵BC平分∠ABM，

∴∠ABC＝∠ABM＝45°

∵AB是直径

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°

∴AC＝BC

∴△ACB是等腰直角三角形；

（2）如图，连接OD，OC

∵DE＝EO，DO＝CO

∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD

∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD

∴△EDO∽△ODC

∴

∴OD2＝DEDC

∴OA2＝DEDC＝EODC

（3）如图，连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，

∵DO＝BO

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO，

∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，

∴∠ODB＝15°＝∠OBD

∵∠BAF＝∠DBA＝15°

∴AF＝BF，∠AFD＝30°

∵AB是直径

∴∠ADB＝90°

∴AF＝2AD，DF＝AD

∴BD＝DF+BF＝AD+2AD

∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝＝2﹣