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如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠B=36°,对角线BD、AC相交于点O,∠BAC的平分线AE交BC边于点E.试解答下列几个问题:
(1)不用计算器求:①AE长度的准确值,②∠ABO正弦的准确值;
(2)在对角线BD上取一点M.求BM<AB的概率(如果计算的概率值为无理数,则将计算结果精确到百分位)
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=1,
又∵∠EAC=
1
2
∠BAC=36°,∠AEC=∠ACE=72°
∴AE=AC.
设AE=AC=x,则AE=BE=x,△ABC△EAC
AC
EC
=
AB
AE
x
1-x
=
1
x

整理得:x2-x-1=0
解得x1=
5
-1
2
x2=-
5
+1
2
(不合题意舍去)

(2)∵AE=AC,∴AC=
5
-1
2

又∵BO⊥AC AB=CB
∴AO=
1
2
AC=
5
-1
4

∴sin∠ABO=
5
-1
4


(3)设在对角线BD上取一点M,得BM<AB这一事件的概率为P(BM<AB).
在BD上截取BM′=AB.于是P(BM<AB)=P(BM<BM′)=
2
5+
5
≈0.53.
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