Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，AD平分角∠BAC交⊙O于D，过D作直线AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD，CD．

（1）求证：BD＝CD；

（2）求证：直线DE是⊙O的切线；

（3）若DE＝，AB＝4，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD＝2．

【解析】

（1）由角平分线定义得出∠CAD=∠BAD，即可得出结论；
（2）连接半径OD，则OD=OA，得出∠OAD=∠ODA，由∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD=∠BAD，得出∠BAD+∠ADE=90°，即∠ODA+∠ADE=90°，即可得出结论；
（3）过点D作DF⊥AB于F，则DF=DE=，由勾股定理得出OF==1，易证△OBD是等边三角形，得出OF=FB=1，AF=AB-FB=3，由勾股定理即可得出结果．

（1）证明：∵在⊙O中，AD平分角∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD，

∴BD＝CD；

（2）证明：连接半径OD，如图1所示：

则OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，

∴∠EAD+∠ADE＝90°，

由（1）知∠EAD＝∠BAD，

∴∠BAD+∠ADE＝90°，即∠ODA+∠ADE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（3）解：过点D作DF⊥AB于F，如图2所示：

则DF＝DE＝，

∵AB＝4，

∴半径OD＝2，

在Rt△ODF中，OF＝＝＝1，

∴∠ODF＝30°，

∴∠DOB＝60°，

∵OD＝OB，

∴△OBD是等边三角形，

∴OF＝FB＝1，

∴AF＝AB﹣FB＝4﹣1＝3，

在Rt△ADF中，AD＝＝＝2．