【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,过A作AP∥BC交CO的延长线于点P.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若BC=8,tanB=2,求PA的长.
【答案】(1)详见解析;(2)PA=.
【解析】
(1)作AD⊥BC于点D,根据切线的判定即可求出答案.
(2)易求得AD=8,设OC=OA=x,根据勾股定理可求出x的值,再证明△AOP∽△DOC,利用相似三角形的性质即可求出PA的长度.
解:(1)作AD⊥BC于点D,
∵AB=AC,
∴AE平分BC
∴点O在AD上,
∵AP∥BC,
∴AD⊥AP,
∴PA是⊙O的切线.
(2)∵tanB=2,BD=CD=BC=4,
∴AD=8,
设OC=OA=x,
在Rt△OCD中,OC2=CD2+OD2,
∴ ,
解得:x=5,
∴OD=8﹣x=8﹣5=3,
∵∠AOP=∠COD,∠OAP=∠ODC=90°,
∴△AOP∽△DOC,
∴ ,
∴
∴PA=.
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【题目】2020年伊始,一场突如其来的疫情防控战在中华大地骤然打响,全国人民自觉居家减少外出,师生停课不停学,举国共抗疫情.某中学在复学后,为了了解学生们在居家期间的生活状态,以更好地保护复学后学生们的身心健康,对本校学生进行了“居家期间学习之余主要活动”的抽样调查.种类为:(A)强身健体、(B)艺术熏陶、(C)经典阅读、(D)分担劳动、(E)其他.针对以上活动种类,统计学生们花时间最多的种类的人数,以绘制成如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图.
请根据图中的信息,回答下列问题.
(1)被抽样调查的总人数为 人;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有学生1800人,请估算种类D的大约人数;
(4)据此疫情经历,给自己提出一条人生建议 .
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,点D为AC中点,点E为边AB上一动点,点F为射线BC上一动点,且∠FDE=90°.
(1)当DF∥AB时,连接EF,求∠DEF的余切值;
(2)当点F在线段BC上时,设AE=x,BF=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)连接CE,若△CDE为等腰三角形,求BF的长.
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【题目】如图,正方形的边长为4,延长至使,以为边在上方作正方形,延长交于,连接、,为的中点,连接分别与、交于点、.则下列结论:①;②;③;④.其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图,矩形ABCD中,E为边AD上一点(不为端点),EF⊥AD交AC于点F,要求△FBC的面积,只需知道下列哪个三角形的面积即可( )
A.△EBCB.△EBFC.△ECDD.△EFC
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【题目】一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C 与F 重合,边CA与边FE叠合,顶点B、C、D在一条直线上).将三角尺ABC绕着点C按逆时针方向旋转n°后(0<n<360 ),若ED⊥AB,则n的值是_______.
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【题目】如图,四边形ABCD为正方形,E为对角线BD上的动点,过点E作FG⊥AE,FG交射线CD于F,交射线CB于G.
(1)求证:EF=EG
(2)求证:
(3)若AB=4,当∠GEB=22.5°,直接写出CF的长.
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【题目】(1)如图1,点在上,请在图中用直尺(不含刻度)和圆规作等边三角形,使得点、都在上.
(2)已知矩形中,,.
①如图2,当时,请在图中用直尺(不含刻度)和圆规作等边三角形,使得点在边上,点在边上;
②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形,请直接写出的取值范围.
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【题目】在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元,购买4支钢笔和5个笔记本共70元.
(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?
(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加一支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等学生多少人时,购买奖品金额最少,最少为多少元?
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